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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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8. Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:
a) $\int_{-1}^{1} e^{x}(x+1)^{2} dx$

Respuesta

Primero integramos la función \(e^{x}(x+1)^{2}\).
Para integrar \(e^{x}(x+1)^{2}\), usamos el método de integración por partes. Sea \(f(x) = (x+1)^{2}\) y \(g'(x) = e^{x} dx\).
Entonces, \(f'(x) = 2(x+1) dx\) y \(g(x) = e^{x}\).
La integral se transforma en:

$ \int e^{x}(x+1)^{2} \, dx = (x+1)^{2} e^{x} - \int 2(x+1) e^{x} \, dx $
Tenemos que aplicar integración por partes nuevamente en \(\int 2(x+1) e^{x} \, dx\). Sea \(f(x) = 2(x+1)\) y \(g'(x) = e^{x} dx\).
Entonces, \(f'(x) = 2 dx\) y \(g(x) = e^{x}\).
La integral se transforma en:

$ \int 2(x+1) e^{x} \, dx = 2(x+1) e^{x} - \int 2 e^{x} \, dx $
  
$ \int 2(x+1) e^{x} \, dx = 2(x+1) e^{x} - 2 e^{x} $
Reemplazamos en la integral original:

$ \int e^{x}(x+1)^{2} \, dx = (x+1)^{2} e^{x} - \left( 2(x+1) e^{x} - 2 e^{x} \right) $
Vamos a simplicarlo:

$ \int e^{x}(x+1)^{2} \, dx = (x+1)^{2} e^{x} - 2(x+1) e^{x} + 2 e^{x} $
$ \int e^{x}(x+1)^{2} \, dx = e^{x} \left( (x+1)^{2} - 2(x+1) + 2 \right) $
$ \int e^{x}(x+1)^{2} \, dx = e^{x} \left( x^2 + 2x + 1 - 2x - 2 + 2 \right) $
$ \int e^{x}(x+1)^{2} \, dx = e^{x} \left( x^2 + 1 \right) $
Entonces,

$ \int e^{x}(x+1)^{2} \, dx = e^{x} x^2 + e^{x} + C $
Ahora aplicamos Barrow:

$ \int_{-1}^{1} e^{x}(x+1)^{2} \, dx = \left[ e^{x} x^2 + e^{x} \right]_{-1}^{1} $

$ \left[ e^{x} x^2 + e^{x} \right]_{-1}^{1} = \left( e^{1} (1)^2 + e^{1} \right) - \left( e^{-1} (-1)^2 + e^{-1} \right) $
$ = \left( e + e \right) - \left( e^{-1} + e^{-1} \right) $
$ = 2e - 2e^{-1} $
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Avatar Delfi 23 de junio 21:16
Hola! Cuando simplificas, en el tercer renglón, como obtienes 2x del termino (x+1) al cuadrado? A mi me queda X al cuadrado +1
Avatar Julieta Profesor 24 de junio 18:29
@Delfi Hola Delfi! Es que desarrollo el cuadrado de un binomio, con la fórmula $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:


Pongo en verde donde desarrollé el cuadrado del binomio

2025-06-24%2018:29:12_6270181.png
Avatar Milagros 31 de octubre 08:43
Profe y si no me dieron el metodo de integración por partes, de que otrz manera puedo resolverlo?
Avatar Julieta Profesor 4 de noviembre 15:06
@Milagros Si no te dieron ese tema en clase (que sería raro, muy), yo dudo que te lo tomen en un parcial. Eso ya tendrías que verlo con tus docentes. No hay otra forma de resolverlo con las herramientas que se ven en esta materia.
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