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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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8. Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:
a) ∫−11ex(x+1)2dx\int_{-1}^{1} e^{x}(x+1)^{2} dx

Respuesta

Primero integramos la función ex(x+1)2e^{x}(x+1)^{2}.
Para integrar ex(x+1)2e^{x}(x+1)^{2}, usamos el método de integración por partes. Sea f(x)=(x+1)2f(x) = (x+1)^{2} y g′(x)=exdxg'(x) = e^{x} dx.
Entonces, f′(x)=2(x+1)dxf'(x) = 2(x+1) dx y g(x)=exg(x) = e^{x}.
La integral se transforma en:

∫ex(x+1)2 dx=(x+1)2ex−∫2(x+1)ex dx \int e^{x}(x+1)^{2} \, dx = (x+1)^{2} e^{x} - \int 2(x+1) e^{x} \, dx
Tenemos que aplicar integración por partes nuevamente en ∫2(x+1)ex dx\int 2(x+1) e^{x} \, dx. Sea f(x)=2(x+1)f(x) = 2(x+1) y g′(x)=exdxg'(x) = e^{x} dx.
Entonces, f′(x)=2dxf'(x) = 2 dx y g(x)=exg(x) = e^{x}.
La integral se transforma en:

∫2(x+1)ex dx=2(x+1)ex−∫2ex dx \int 2(x+1) e^{x} \, dx = 2(x+1) e^{x} - \int 2 e^{x} \, dx
  
∫2(x+1)ex dx=2(x+1)ex−2ex \int 2(x+1) e^{x} \, dx = 2(x+1) e^{x} - 2 e^{x}
Reemplazamos en la integral original:

∫ex(x+1)2 dx=(x+1)2ex−(2(x+1)ex−2ex) \int e^{x}(x+1)^{2} \, dx = (x+1)^{2} e^{x} - \left( 2(x+1) e^{x} - 2 e^{x} \right)
Vamos a simplicarlo:

∫ex(x+1)2 dx=(x+1)2ex−2(x+1)ex+2ex \int e^{x}(x+1)^{2} \, dx = (x+1)^{2} e^{x} - 2(x+1) e^{x} + 2 e^{x}
∫ex(x+1)2 dx=ex((x+1)2−2(x+1)+2) \int e^{x}(x+1)^{2} \, dx = e^{x} \left( (x+1)^{2} - 2(x+1) + 2 \right)
∫ex(x+1)2 dx=ex(x2+2x+1−2x−2+2) \int e^{x}(x+1)^{2} \, dx = e^{x} \left( x^2 + 2x + 1 - 2x - 2 + 2 \right)
∫ex(x+1)2 dx=ex(x2+1) \int e^{x}(x+1)^{2} \, dx = e^{x} \left( x^2 + 1 \right)
Entonces,

∫ex(x+1)2 dx=exx2+ex+C \int e^{x}(x+1)^{2} \, dx = e^{x} x^2 + e^{x} + C
Ahora aplicamos Barrow:

∫−11ex(x+1)2 dx=[exx2+ex]−11 \int_{-1}^{1} e^{x}(x+1)^{2} \, dx = \left[ e^{x} x^2 + e^{x} \right]_{-1}^{1}

[exx2+ex]−11=(e1(1)2+e1)−(e−1(−1)2+e−1) \left[ e^{x} x^2 + e^{x} \right]_{-1}^{1} = \left( e^{1} (1)^2 + e^{1} \right) - \left( e^{-1} (-1)^2 + e^{-1} \right)
=(e+e)−(e−1+e−1) = \left( e + e \right) - \left( e^{-1} + e^{-1} \right)
=2e−2e−1 = 2e - 2e^{-1}
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Milagros
31 de octubre 8:43
Profe y si no me dieron el metodo de integración por partes, de que otrz manera puedo resolverlo?
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Julieta
PROFE
4 de noviembre 15:06
@Milagros Si no te dieron ese tema en clase (que sería raro, muy), yo dudo que te lo tomen en un parcial. Eso ya tendrías que verlo con tus docentes. No hay otra forma de resolverlo con las herramientas que se ven en esta materia.
0 Responder